Tensor + Matrix

Diese Seite soll nur einen kurzen und allgemeinen Überblick geben, da das Gebiet der linearen Algebra derart komplex ist, dass eine erschöpfende Behandlung auf dieser Site nicht möglich ist. So ist sie notwendigerweise zuwenig für Mathematiker und hoffentlich verständlich genug für Interessierte der Ag. Für weiter führende Informationen sei zum Beispiel auf die Seiten bei wikipedia.de verwiesen, die auch die Grundlagen dieser Seite waren.

Diese Seite ist nicht zwingend zum Verständnis des Themas Kosmologie erforderlich. Es sei nur soviel festgestellt, dass in Tensorgleichungen ausgedrückte Naturgesetze in beliebigen Koordinatensystemen die gleiche Gestalt haben und sie unter anderem zweckmäßig in der Elektrizitätstheorie, Elektrodynamik und Speziellen Relativitätstheorie, jedoch unentbehrlich in der Allgemeinen Relativitätstheorie sind.

Das Wort Tensor (lat.: tendo = ich spanne) wurde 1843 von W. R. Hamiliton eingeführt, als Bezeichnung des Absolutbetrages seiner Quaternionen (eine Erweiterung der komplexen Zahlen). Von ihm stammt auch der Begriff Vektor. Ein Teilgebiet der Mathematik, die lineare Algebra, handelt von Tensoren, von geometrischen, unter Koordinatentransformationen (bekannteste sind die Galileitransformationen und die Lorentztransformationen) invarianten (lat.: unveränderlich) Objekten, die aus Vektoren und/oder linearen Abbildungen aufgebaut sind. Eine Matrix ist eine Anordnung von Objekten in Tabellenform, z. B. in Zeilen und Spalten).

Hierarchie:

Tensoren 0. Stufe = Skalare

Ein Skalar ist eine Größe, die keine Richtung hat, ihr Wert wird durch eine reelle Zahl, ihre Dimension durch eine Benennung angegeben.

Tensoren 1. Stufe = Vektoren

Im n-dimensionalen Raum hat er n Koeffizienten (Multiplikator der veränderlichen Größe einer Funktion). Ein Vektor ist ein geometrisches Objekt in einem Vektorraum und kann durch Koordinaten bezüglich einer Basis dargestellt werden, wobei er unter Basiswechsel (Koordinatentransformationen) invariant bleibt.

Tensoren 2. Stufe = Matrizen

Jeder der n² Koeffizienten wird durch zwei Indizes bezeichnet.

Tensoren 3. Stufe = würfelförmige Anordnung seiner n³ Koeffizienten, wird durch je drei Indizes bezeichnet.

Tensor n-ter Stufe mit n^m Koeffizienten, wird durch je m Indizes bezeichnet.

Allgemein: Ein Tensor n-ter Stufe kann durch einen n-dimensionalen Zahlenwürfel repräsentiert werden.

Der Begriff Tensor wird in der Physik oft als Abkürzung für Tensorfeld verwendet und ist eine Abbildung, die jedem Punkt des Raumes (allgemeiner: einer Mannigfaltigkeit) einen Tensor zuordnet.

Tensorfelder befinden sich in jeder physikalischen Feldtheorie. Viele physikalische Gesetze sind Proportionalitäten, z. B. F und v im Gesetz F= m v (Die Geschwindigkeitsänderung ist proportional der an einer Masse angreifenden Kraft).

Derselbe Proportionalitätsfaktor, die Masse m, gibt es in der Gleichung für die Bewegungsenergie.

     E_kin = ½ m n²

Daneben gibt es Proportionalitätsfaktoren, die von der Richtung der beteiligten vektoriellen Größen abhängen, z. B. bewirkt ein an einem Körper angreifendes Drehmoment eine Änderung der Winkelgeschwindigkeit und eine Verdoppelung des Drehmoments verdoppelt auch diesen Effekt.

     M = J w

wobei der Proportionalitätsfaktor J je nach Richtung von w unterschiedlich sein kann.

Denselben richtungsabhängigen Proportionalitätsfaktor, das Trägheitsmoment J gibt es in der Gleichung für die Rotationsenergie

     E_rot = ½ J w²

und diese Abhängigkeit von der Richtung bedeutet, dass J eine tensorielle Größe ist. Damit ist J also ein Tensor 2. Stufe, in dem zwei Vektoren involviert (lat.: in sich schließen) sind. Rechnerisch ist ein Tensor zweiter Stufe eine quadratische Matrix.

Die Einträge der Matrix entstammen der Menge der komplexen Zahlen.

Komplexe Zahlen = Zahlenmenge (z. B. zur Lösung von x² = -1) bestehend aus dem Realteil a addiert mit dem Imaginärteil b und der imaginären Einheit i (i² = -1) in der Form a + bi.

Ist der Imaginärteil 0 erhält man reelle Zahlen, ist der Realteil 0 erhält man imaginäre Zahlen.Symbol:

Reelle Zahlen = Zahlenmenge aller Zahlen im Dezimalsystem.

Matrixelemente werden durch zwei Indizes angegeben, z. B. steht das Element m_2,3 in der 2. Zeile der 3. Spalte.

Nur Matrizen mit gleicher Anzahl an Zeilen und Spalten können addiert werden, da jeweils die Einträge der Matrizen addiert werden. Die Matrizenaddition ist meist assoziativ, kommutativ und besitzt mit der Nullmatrix ein neutrales Element.

Um zwei Matrizen zu multiplizieren muss die Spaltenzahl der linken mit der Zeilenzahl der rechten Matrix übereinstimmen, da jeweils die Produktsummenformel auf Paare aus dem Zeilenvektor der linken und dem Spaltenvektor der rechten Matrix angewandt wird. 

Begriffe

Skalar = Größen wie Temperatur und Masse werden durch Angabe einer Zahl charakterisiert.

Skalarfeld = Wenn eine skalare Größe als Funktion des Ortes gegeben ist, gibt es ein Skalarfeld.

Vektor = Definiert durch die Angabe von drei Zahlen. Sie ist eine im Raum physikalisch gegebene und gerichtete Größe.

Vektorfeld = Wenn ein Feld von drei Skalaren an jedem Ort des Raumes gegeben ist, gibt es ein Vektorfeld.

Vektorgleichung = Sie ersetzt stets drei skalare Gleichungen.

Gradienten = Durch Gradientenbildung wird aus einem Skalarfeld ein Vektorfeld! Läßt sich ein Vektorfeld als Feld des Gradienten einer skalaren Ortsfunktion darstellen, so ist das zwischen zwei Punkten erstreckte Linienintegral unabhängig vom Weg und das über eine geschlossene Kurve erstreckte Linienintegral verschwindet.

Divergenz = Die Differentialoperation von einem gegebenen Vektorfeld zu einem Skalarfeld! Satz von Gauss: Das Oberflächenintegral des Vektors v, genommen über eine geschlossene Oberfläche ist gleich dem Raumintegral von div v, genommen über das eingeschlossene Volumen.

Rotation = Die Differentialoperation von einem gegebenen Vektorfeld zu einem anderen Vektorfeld! Satz von Stockes: Das Linienintegral des Vektors v erstreckt über eine geschlossene Kurve C, ist gleich dem Oberflächenintegral von rot v, erstreckt über eine beliebige von C berandete Fläche F.