Riemann - 1- Einleitung

G. F. B. Riemann gehörte zu den Begründern der Funktionentheorie (Lehre von den Funktionen der komplexen Veränderlichen) und als Begründer der Riemannschen Geometrie (Differentialgeometrie in beliebig vielen Dimensionen mit lokal definierter Metrik) war er einer der Wegbereiter der Allgemeinen Relativitätstheorie.

In seiner Vorlesung am 10.06.1854 "Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen" wich er in einem entscheidenden Punkt von Newtons Lehre ab und definierte die Kraft als eine Konsequenz der Geometrie. Damit verwarf er das Prinzip der Fernwirkung und stellte an deren Stelle eine Theorie höherer Dimensionen mit der er die Grenzen euklidischer Geometrie sprengte.

Ausgangspunkt ist der Lehrsatz des Pythagoras, der die Beziehung zwischen den Längen der drei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks im zweidimensionalen Raum festlegt. Danach ist die Summe der Quadrate über den kleinen Seiten (Ankathete und Gegenkathete) gleich dem Quadrat über der längsten Seite (Hypothenuse).

Oder anders formuliert: Wenn a und b die Längen der beiden kurzen Seiten sind und c die Länge der längsten Seite, dann ist

     a²+b² =c²

Dieser Lehrsatz lässt sich leicht auf den dreidimensionalen (n=3) Raum übertragen und anhand eines Würfels darstellen. Danach ist die Summe der Quadrate von drei anliegenden Kanten eines Würfels gleich dem Quadrat der Diagonale.

Oder anders formuliert: Wenn a, b und c die Kanten eines Würfels sind und d die Länge seiner Diagonale, dann ist

     a²+b²+c²=d²

Offensichtlich ist leicht eine Verallgemeinerung auf mehrdimensionale (mit n=4 usw.) Räume möglich. Das menschliche Gehirn hat keine Möglichkeit der Anschauung für höhere Dimensionen, aber sie sind mathematisch zu beschreiben. Wenn a, b, c ... n die Kanten eines Hyperwürfels sind und z die Länge seiner Diagonale, dann ist

     a²+b²+c²+ ... n²=z²

Riemann übertrug diese Gleichungen auf Räume mit einer beliebigen Zahl von Dimensionen.

Wenn die Räume flach sind, gelten die Axiome (griech.: keines Beweises bedürfender Grundsatz) des Euklid:

a) Die kürzeste Entfernung zwischen zwei Punkten ist eine gerade Linie.
b) Die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks ist 180 Grad.
c) Parallelen schneiden sich nie.

Wenn die Räume positiv gekrümmt sind (z. B. bei einer Kugel) gilt:

a) Die kürzeste Entfernung ist eine gebogene Linie.
b) Die Winkelsumme eines Dreiecks ist größer als 180 Grad.
c) Parallelen schneiden sich immer.

Wenn die Räume negativ gekrümmt sind (z. B. bei einer Trompete oder einem Sattel) gilt:

a) Die kürzeste Entfernung ist eine gebogene Linie.
b) Die Winkelsumme eines Dreiecks ist kleiner als 180 Grad.
c) Durch einen Punkt neben einer gegebenen Linie lassen sich eine unendliche Zahl von Parallelen zeichnen.

Beim flachen Raum (2 Dimensionen) ist das Gleichungssystem auf der Pythagoräischen Lehrsatz reduziert. Um zu beschreiben wie ein Punkt im Raum gekrümmt bzw. verworfen wird, wies Riemann ihm eine Reihe von Zahlen zu. Für einen Punkt auf einer zweidimensionalen Fläche nahm er drei Zahlen einer 2 x 2-Matrix um die Krümmung zu beschreiben.

Für einen Punkt auf einer dreidimensionalen Fläche wird eine 3 x 3-Matrix mit 6 Zahlen benötigt.

Für einen vierdimensionalen Raumpunkt werden insgesamt zehn Zahlen benötigt, diese ergeben eine 4 x 4-Matrix, mit Indizes von 1 bis 4.

Symmetrisch angeordnet:

Da g12=g21 etc. ist, sind es zehn Zahlen.

Offensichtlich ist leicht eine Verallgemeinerung auf mehrdimensionale (mit n = 5 usw.) Räume möglich.

Riemann - 2 - Höhere Dimensionen

Der Riemannsche Maßtensor in n Dimensionen g m n ist eine n x n Matrix (in 3 Dimensionen = 3x3 Matrix, in 4 Dimensionen = 4x4 Matrix usw.)

Beim flachen zweidimensionalen Raum wird der Riemannsche Maßtensor diagonal, womit sich das Gleichungssystem auf den Pythagoräischen Lehrsatz reduziert.

Aus dem Maßtensor kann der Riemannsche Krümmungstensor gebildet werden. Verallgemeinert ausgedrückt misst der Maßtensor die Abweichung vom flachen Raum.

Es ist interessanter über höhere Dimensionen nachzudenken, als über eindimensionale (Liniensegment) oder nulldimensionale (Punkte) Wesen.

Auch wenn wir uns höherdimensionale Räume nicht vorstellen können sind wir in der Lage sie mathematisch zu beschreiben.

Beispiel:

Kreis = Menge aller Punkte, die der Gleichung

   x² + y² = z ²   in der x – y – Ebene gehorchen.

Kugel = Menge der Punkte

   x² + y² + z^{2 =}  r² im x – y – z – Raum

Eine vierdimensionale Kugel = Menge der Punkte

   x² + y² + z² + v² = r² im x – y – z – v – Raum

etc.

Die Raumkrümmung an einem gegebenen Punkt lässt sich messen, indem um diesen Punkt ein Kreis gezogen und die Fläche im Inneren des Kreises gemessen wird. Im flachen Raum ist diese Fläche A = r²p = d²p/4. Bei einer positiven Krümmung entspricht sie einer Kugel und ist kleiner als r²p.

Beispiel Erde: Der Abstand Pol -Äquator ist rund 10 000 km. Würde bei einer flachen Erde um den Pol ein Kreis gezogen, dann wäre der Kreisumfang U = 2rp = dp 63 000 km.

Der wirkliche Umfang liegt bei rund 40 000 km und das zeigt die Krümmung.

Bei einer negativen Krümmung (Sattel oder Trompete) ist die Fläche A> r²p.

Streng genommen ist die Krümmung eines zerknüllten Blattes Papier Null, denn die Flächen der darauf gezeichneten Kreise sind immer noch r²p, doch es wird vorausgesetzt, dass die Kraft die durch das Knüllen hervorgerufen wird, das Papier zugleich verformt, staucht und streckt, womit die Krümmung nicht Null ist.

So wenig wie Menschen sich keine vier Raumdimensionen vorstellen können, so wenig können sich zweidimensionale Wesen (Flachländer) drei Raumdimensionen vorstellen. Ein Flachländer kann sich eine begriffliche Vorstellung von einem Würfel machen, indem er ihn entfaltet. Dann sieht der Würfel für ihn wie ein Kreuz aus sechs Quadraten aus, mit starren unbeweglichen Verbindungsstücken zwischen den Quadraten. Unmöglich für einen Flachländer daraus einen Würfel zu machen, aber in der dritten Dimension ist es einfach. Ein Flachländer als Zeuge des Vorgangs würde die Quadrate - bis auf eines – aus seinem Universum verschwinden sehen.

Wir können uns eine begriffliche Vorstellung von einem Hyperwürfel machen, indem wir ihn entfalten und acht Würfel in Form eines kreuzähnlichen Tesseract erhalten, die unbeweglich erscheinen. Ein vierdimensionales Wesen kann einfach daraus einen Hyperwürfel machen und ein Mensch als Zeuge des Vorganges würde die Würfel - bis auf einen – aus seinem Universum verschwinden sehen.

Wenn wir einen dreidimensionalen Würfel zweidimensional darstellen, gibt es bei der geometrischen Projektion den Verlust einer Dimension und dadurch eine Verzerrung (Seiten sind nicht alle gleich lang und Winkel sind nicht alle rechte Winkel).

Sein Schatten in der zweiten Dimension wäre ein Quadrat in einem Quadrat. Wenn wir den Würfel drehen, würden die beiden Quadrate für einen Flachländer unmögliche Bewegungen ausführen.

Wenn wir einen Tesseract (einen vierdimensionalen Würfel) dreidimensional darstellen, ähnelt er zwei ineinander geschachtelten Würfeln, deren Eckpunkte sämtlich durch Linien verbunden sind. Durch den Verlust einer Dimension gibt es bei der Projektion eine Verzerrung (Seiten sind nicht alle gleich lang und Winkel sind nicht alle rechte Winkel).

Rotiert der Hyperwürfel in vier Dimensionen würden wir unmögliche Bewegungen der Würfel sehen.

Phantastische Überlegungen (siehe auch Raumkrümmung), aber zurück zu Riemann. Er vermutete, dass die Raumkrümmung der Grund für die Kräfte Elektrizität und Magnetismus sind, d. h. die Elektrizität und der Magnetismus werden durch die Krümmung des höherdimensionalen Raumes hervorgerufen. Allgemein ausgedrückt werden die physikalischen Gesetze im höherdimensionalen Raum einfacher.