Minkowski

Hermann Minkowski führte formal die vierte Koordinate als Abstandsmaß in der Raumzeit ein.

Der räumliche Abstand vom Ursprung errechnet sich im dreidimensionalen Koordinatensystem durch:

 ds²=dx²+dy²+dz²

Erweiterungen für höherdimensionale Systeme hatte schon Riemann in seiner nichteuklidischen Geometrie formuliert.

Der gedachte Hilfsraum von Minkowski in der flachen Raumzeit hat eine zusätzliche Koordinate, die die Zeit betrifft und errechnet sich durch

 ds²=c²dt² – dx² – dy² – dz²

Für dt=0 ergibt sich der Euklidische Abstand. Für die Raumkoordinaten gleich 0 ergibt sich die Länge des Zeitintervalls (multipliziert mit c). Der Punkt in der Raumzeit wird Ereignis genannt.

Es ist möglich, dass ds verschwinden kann, auch wenn Zeit- und Raumintervalle nicht Null sind. Es gibt entfernte Abstände (Ereignisse mit Raumzeit-Abstand Null) z.B. wenn c²dt²=dx/dy/dz ist.

In der gekrümmten Raumzeit sind Raum und Zeit gekrümmt, die Koordinatenachsen sind nicht linear. Die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten ist eine Geodäte, z.B. die Großkreise auf einer Kugeloberfläche sind Geodäten.

Durch die Gleichung wird die Lichtkugel mit Radius cDt beschrieben. Längs der Bahn von Lichtstrahlen ist das Längenmaß in der Raumzeit immer gleich Null. Die Projektion in den Gleichzeitigkeitsraum führt auf einen von Null verschiedenen Abstand d.

Das Minkowski-Diagramm ist die geometrische Darstellung der Raumzeit-Eigenschaften mit einer Raumdimension x und der Zeitdimension ct. Ein Ereignis ist irgendeine Stelle in diesem Diagramm und bedeutet nicht, dass dort irgendein Ereignis stattfindet. Jedes Objekt beschreibt eine Linie im Diagramm, die Weltlinie des Objektes genannt wird. Der Ursprung des Diagramms ist das Hier&Jetzt.

Ein Photon, das sich durch den Ursprung bewegt, beschreibt wegen x=ct (1 sec.=300000 km) eine Diagonale im Quadranten, seine Weltlinie ist um 45 Grad geneigt (gleiche Maßstäbe der beiden Achsen vorausgesetzt).

Bei Hinzufügen einer zweiten Raumdimension bilden die beiden 45°-Geradeneinen Kegelrand (nicht zu verwechseln mit dem Lichtkegel eines Scheinwerfers). Alle Ereignisse, die ein Beobachter im Hier&Jetzt sehen kann, liegen in diesem Vergangenheitslichtkegel.

Ein Lichtkegel oberhalb des Hier&Jetzt, begrenzt durch die Photonen-Weltlinien, bildet den Zukunftslichtkegel. Alle Weltlinien innerhalb dieses Lichtkegels entsprechen Objekten die sich mit einer Geschwindigkeit v<c bewegen.

Damit wird die Raumzeit in zwei Bereiche unterteilt: mit dem Lichtkegel verknüpft (zeitartig) oder nicht (Anderswo). Es gibt drei Richtungen: innerhalb des Lichtkegels (zeitartig), direkt auf dem Lichtkegel (lichtartig) und außerhalb des Lichtkegels (raumartig).

Raumartige verbinden gleichzeitige Ereignisse. Geraden die durch das Hier&Jetzt, aber außerhalb des Ursprungslichtkegels verlaufen, sind in Gleichzeitigkeitsräumen (im Anderswo). Das sind in der Welt der drei Dimensionen Räume von gegeneinander mit konstanter Geschwindigkeit bewegten Beobachtern.

Ein Ereignis im Anderswo wird nach einer endlichen Zeit dem Ursprungsbeobachter bekannt, sobald der Lichtkegel dieses Ereignisses (der z.B. das Hier&Jetzt von little-grey-man ist) des des Ursprungsbeobachters erreicht.

Minkowski entwickelte das Raumzeit-Diagramm zur Verdeutlichung der Raumzeit-Eigenschaften der Relativitätstheorie und der damit verbundenen Phänomene der Zeitdilatation und Längenkontraktion.